Kratak uvod u verovatnoću

Dr Nikola Grubor

2024-10-31

de Méréov problem

Pierre de Fermat

Blaise Pascal

Potreba za teorijom verovatnoće

Verovatnoća kao produžetak Aristotelove logike.

Dobijamo mogućnost da pričamo o (ne)sigurnosti ubeđenja.

Šta je verovatnoća

Eksperiment je aktivnost koja proizvodi ishod (biramo novi put da testiramo da li je brži od starog).

\[ \text{Eksperiment} \rightarrow \text{Ishod} \]

Prostor ishoda je skup svih mogućih ishoda eksperimenta.

\[ \text{Prostor ishoda kocke:} \; \omega = \{1,2,3,4,5,6\} \]

Događaj je podskup prostora ishoda.

\[ \text{Događaj bacanja kocke} \; x = 6 \]

Kako delimo događaje?

Događaj je skup mogućih ishoda, a može biti:

• Deterministički (Nedostatak vitamina C \(\rightarrow\) Skorbut)

• Slučajni (stohastnični)

Prostor (elementarnih) ishoda \(\omega\) je skup svih mogućih ishoda.

\[ \omega = \{A, B\, O, AB\} \; \; \; \omega = \{\text{zdrav}, \text{bolestan}\} \]

Somatske ili germinativne mutacije

Definicija verovatnoće

Verovatnoća je mera očekivanja

nekog slučajnog događaja.

Slučajan događaj = rezultat procesa koji ne znamo kako radi. Mera, proces kojim dodajem broj nečemu (metar i razdaljina, znanje i ocene).

Očekivanje je opštije od aritmetičke sredine

Beleška

Očekivanja su svuda u medicini: preživljavanje, vreme do oporavka nakon uzimanja leka, lab. testovi (markeri, biohem. parametri, eGFR), itd.

Očekivana vrednost ne mora da bude najčešća (mod), i ne poklapa se sa svakodnevnom upotrebom. Ne mora ni da bude vrednost koja može da se desi 3.5 na kockici od 6 strana.

Zakon velikih brojeva

Kako određujemo verovatnoću?

1. Objektivna
   • Teorijska (matematička)
   • Empirijska (statistička)
2. Subjektivna
   • Ubeđenje

Teorijska verovatnoća

• Znamo je pre merenja
• Svi mogući ishodi su jednako verovatni

Empirijska verovatnoća

Empirijska verovatnoća se određuje (brojanjem) posle posmatranog događaja.

\[ p = \frac{\text{očekivano}}{\text{ukupno}} \]

Krvna grupa	Relativna učestalnost
O	45%
А	39%
B	12%
AB	4%

Subjektivna verovatnoća

• Uverenje
• Ekspertsko mišljenje

flowchart TD
  S(Simptom) --> A("Apriorna Verovatnoća")
  Z(Znak) --> A
  P(Prevlenca) --> A
  A --> T{"Dijagnostički test"}
  T --> AP("Aposteriorna Verovatnoća")

Osobine verovatnoće

Aksiomi:

• Nenegativnost [0, 1]
• Normiranost (zbir = 1)
• Aditivnost

Dodatni termini:

• Verovatnoća događaja (\(p\))
• Verovatnoća suprotnog događaja (\(1-p = q\))
• Komplementarnost (\(p+q = 1\))

Isključivost

Događaji su isključivi ako ne mogu da se dogode istovremeno.

• Krvna grupa
• Prisustvo simptoma gripa
• Prisustvo medicinskog znaka
• Dijagnoze

Zakoni verovatnoće: adicija (1)

Adicija (sabiranje verovatnoća) isključivih događaja.

Zakoni verovatnoće: adicija (2)

Adicija (sabiranje verovatnoća) neisključivih događaja.

Zakoni verovatnoće: multiplikacija

Multiplikacija isključivih događaja.

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]

Verovatnoća zavisnih (uslovnih) događaja

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = P(B) \times P(A|B) \]

Verovatnoća u dijagnostici

CENTOR Skor

• Doprinos svakog simptoma/znaka verovatnoći strep. infekcije
• Rezultat je pre-test verovatnoca

Teorijske raspodele verovatnoća

Teorijske raspodele verovatnoća su specifični matematički opisi (modeli) slučajnih događaja.

• Binomna
• Normalna

Metematički model

Matematički model

Stvarnost

Bernulijev eksperiment

• Model procesa bacanja novčića.
• Osnovna gradivna jedinica drugih distribucija.

Novčić bačen jednom:

rbinom(n = 1, size = 1, prob = 0.5)

[1] 0

Novčić bačen 10 puta:

rbinom(10, 1, 0.5)

 [1] 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0

Binomna raspodela

Uslovi:

• Isključivi događaji
• Konstantna verovatnoća
• Nezavisni

Binomna verovatnoća je data:

\[ P(X = x) = \frac{n!}{x!(n-x)!}p^{x}q^{n-x} \]

Zadatak 1

Učestalost hipertenzije u populaciji starijih od 65 godina iznosi 42%.

Kolika je verovatnoća da u slučajnom uzorku veličine 7 osoba,

izabranom iz te iste populacije, dve osobe imaju hipertenziju?

Zašto je normalna distribucija česta?

• Normlana distrubucija nastaje sabiranjem (ili množenjem) rezultata mnogo sitnijih procesa.
• Na primer, greške u merenju, varijacije rasta, i brzina molekula su procesi u kojima se javlja.

Poređaj 1000 svojih najbližih prijatelja na sredinu fudbalskog terena. Svako ima novčić u ruci. Kad padne glava ide se korak napred, a kad padne pismo korak nazad. Nakon 16 bacanja izmeri udaljenost od pocetne linije. Da li možes da znas proporciju ljudi koja stoji na liniji? A 5 metara od linije? I ako ne znamo gde će pojedinačna osoba završiti, možemo znati koje će udaljenosti biti najčešće.

Normalna raspodela

Standardna normalna reaspodela

Normalna raspodela gde je \(\bar x = 0\) i \(sd = 1\). Dobija se formulom:

\[ z_i = \frac{x_i - \mu}{\sigma} \]

Nekada bila bitna zbog tablica verovatnoca.

Inace bi morali da napravimo beskonacno tablica verovatnoca; za svaku mogucu normalnu distribuciju.

Tablica verovatnoća

30 “zakljucanih” ljudskih kalkulatora koji racunaju verovatnocu.

Studentova t-distribucija

100 god stara.Varijabilitet populacije nespoznat, pa cemo uzeti iz uzorka, sto dodaje jos nesigurnosti. Za svaki stepen slobode (koliko informacija smo iskoristili da procenimo variabilitet) postoji posebna t-distribucija. t-dist se priblizava z-dist za beskonacno stepena slobode.

Hi-kvadratna distribucija

Uzorci iz Z-dist² (postaju pozitivni) i to postane hi-kvadrat. (sum of square deviations) / (pop. variance) -> kako idu df inf hi postaje z. F dist. (dist of ratio of two variances)

68-95-99.7

Zadatak 2

U populaciji žena starosti između 25 i 50 godina vrednosti mokraćne kiseline u

serumu su normalno raspoređene sa aritmetičkom sredinom 333 mmol/L i

standardnom devijacijom 30 mmol/L.

Kolika je verovatnoća da slučajno izabrana osoba iz ove populacije ima

vrednost mokraćne kiseline u serumu veću od 410 mmol/l?

Računanje verovatnoće: normalna raspodela

Struktura kursa

Nedelja	Tema
1	Uvod u medicinsku statistiku
2	Sređivanje podataka
3	Statističko opisivanje podataka
4	Verovatnoća i raspodele verovatnoća
5	Populacija i uzorak
6	Testiranje hipoteza o populacionim prosečnim vrednostima i proporcijama
7	Testiranje hipoteza o učestalostima
8	Testiranje hipoteza o rangovima
9	Korelacija
10	Regresija / Kolokvijum
11	Podaci, informacije i znanje
12	Zdravstveni informacioni sistem
13	Mere dijagnostičke tačnosti
14	Medicinsko odlučivanje
15	Bioinformatika